CASOS DE FACTORIZACION

FACTORIZACION

Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

FACTORES

Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Ejemplo: a(a + b) = a2 + ab (x + 2) (x +3) = x2 + 5x + 6 (m + n) (m- n) = m2 - mn - n2

CASOS DE FACTORIZACION

CASO I

CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN

Factor Común Monomio:

Ejemplo 1:

14x2 y2 - 28x3 + 56x4

R: 14x2 (y2 - 2x + 4x2)

Ejemplo 2: X3 + x5 – x7 = R: x3 (1 + x2 - x4) Ejemplo 3: 100a2 b3c –150ab2c2 + 50 ab3c3 - 200abc2=

R: 50abc (2ab2 – 3bc +b2c2 – 4c)

Factor Común Polinomio:

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)

R: (x + 1) (a +b)

Ejemplo 2:

(3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) - (x + y – 1)( 3x +2)

R: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)

(3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)

-z ( 3x +2)

Ejemplo 3:

(a + b -1) (a 2 + 1) – a2 – 1

R: ( a + b -1) (a 2 + 1) –( a2 + 1)

( a2 + 1)(a + b - 1)-1

( a2 + 1)(a + b -1 -1)

( a2 + 1)(a + b -2)

CASO II

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINO

Ejemplo 1:

a2 + ab + ax + bx

(a2 + ab) + (ax + b)

a(a + b) + x(a +b)

(a + b) (a +x)

Ejemplo 2:

4am3 – 12 amn – m2 + 3n

= (4am3 – 12amn) – (m2 + 3n)

=4am (m2 – 3n) – (m2 + 3n)

R: (m2 – 3n)(4am-1)

Ejemplo 3:

a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x

= (a2b3 – n4 + a2b3x2 – n4x2 – 3a3b3x + 3n4x)

= (a2b3 + a2b3x2 – 3a2b3x) – (n4 + n4x2 - 3n4x)

= a2b3 (1 + x2 – 3x)- n4 (1 + x2 -3x)

R: (1 + x2 – 3x) (a2b3 - n4 )

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Ejemplo 1;

a2 – 2ab + b2

Raíz cuadrada de a2 = a

Raíz cuadrada de b2 = b

Doble producto sus raíces

(2 X a X b) 2ab (cumple)

R: (a – b) 2

Ejemplo 2:

49m 6– 70 am3n2 + 25 a2n4

Raíz cuadrada de 49m6 = 7m3

Raíz cuadrada de 25a2n4 = 5an2

Doble producto sus raíces

(2 X 7m3 X 5a2n2) = 70am3 n2 (cumple)

R: (7m – 5an2)

Ejemplo 3:

9b2 – 30 ab + 25a2

Raíz cuadrada de 9b2 = 3b

Raíz cuadrada de 25 a2= 5a

Doble producto sus raíces

(2 X 3b X 5a) = 30ab (cumple)

R: (3b - 5a) 2

CASO ESPECIAL

Ejemplo 1:

a2 + 2a (a – b) + (a – b) 2

Raíz cuadrada de a2 = a

Raíz cuadrada de (a – b) 2 = (a – b)

Doble producto sus raíces

(2 X a X (a – b) = 2a(a – b) (cumple)

R: (a + (a – b)) 2

(a + a – b) = (2a –b) 2

Ejemplo 2:

(x + y) 2 – 2(x+ y)(a + x) + (a + x) 2

Raíz cuadrada de (x + y)2 =(x + y)

Raíz cuadrada de (a + x) 2 = (a + x)

Doble producto sus raíces

(2 X (x + y) X (a + x)) = 2(x +y)(a + x) (cumple)

R: ((x +y) – (a + x)) 2

(x + y – a – x) 2 = (y – a) 2

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Ejemplo 1:

X2 - y 2

x y = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = (x + y) (x- y)

Ejemplo 2:

100m2n4 - 169y6

10mn2 13y3 = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = (10mn2 + 13y3) (10mn2- 13y3)

Ejemplo 3:

1 - 9a2b4c6d8

1 3 ab2c3d4 = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = (1 + 3 ab2c3d4) (1- 3 ab2c3d4)

CASO ESPECIAL

Ejemplo 1:

(a - 2b)2 - (x + y)2

(a - 2b) (x + y) = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = ((a - 2b) + (x + y)) ((a - b) - (x + y))

(a - 2b + x + y) (a -2b - x - y)

Ejemplo 2:

16a10 - (2a2 + 3) 2

4a5 (2a2 + 3) = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = ((4a5 + (2a2 + 3))( 4a5 - (2a2 + 3))

(4a5 + 2a2 + 3)(4a5 - 2a2 - 3)

Ejemplo 3:

36(m + n)2 - 121(m - n)2

6(m + n) 11(m - n) = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = ((6(m + n) + 11(m - n)) (6(m + n) - 11(m - n))

(6m + 6n + 11m -11n) (6m +6n - 11m + 11n)

(17m + 5n ) (5m +17n)

CASOS ESPECIALES

COMBINACION DE LOS CASOS III Y IV

Ejemplo 1:

a2 + 2ab + b2 - x2

(a2 + 2ab + b2) - x2

(a + b) 2 - x2

R : (a + b + x)(a + b - x)

Ejemplo 2:

1 - a2 + 2ax - x2

1 - (a2 + 2ax - x2)

1 - (a - x)2

R: (1 - a + x) (1 + a + x)

Ejemplo 3:

16a2 - 1 - 10m + 9x2 - 24ax - 25m2

(16a2 -24ax + 9x2) - (1 + 10m + 25m2)

(4a - 3x) 2 - (1 + 5m) 2

R: (4a - 3x + 5m +1)(4a -3x -5m - 1)

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

Ejemplo 1:

a4 + a2 + 1

+ a2 - a2

a4 + 2a2+ 1 - a2

(a4 + 2a2+ 1) - a2

(a2 + 1)2 - a2

R: (a2+ a + 1) (a2– a + 1)

Ejemplo 2:

254 + 54a2b2 + 49b4

+ 16 a2b2 - 16 a2b2­

254 + 70a2b2 + 49b4 - 16 a2b2­

(254 + 70a2b2 + 49b4) - 16 a2b2­

(5a2 + 7b)2- 16 a2b2

R: (5a2 + 7b2 + 16 ab) (5a2 + 7b2- 16 ab)

(5a2 + 16ab +7b2) (5a2 - 16 ab +7b2)

Ejemplo 3:

81a4b8 - 292a2b4x8 + 256x16

+ 4 a2b4x8 – 4 a2b4x8

81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16 – 4 a2b4x8

(81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16) – 4 a2b4x8

(9a2b4 - 16x8)2 – 4 a2b4x8

R: (9a2b4 - 16x8 + 2 ab2x4) (9a2b4 - 16x8 – 2 ab2x4)

(9a2b4 + 2 ab2x4- 16x8) (9a2b4 – 2 ab2x4 - 16x8 )

CASO ESPECIAL

FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS

Ejemplo 1:

x4+ 64y4

x4 + 64y4 + 16x2y2 - 16x2y2 x4 + 16x2y2 + 64y4 - 16x2y2

(x4 + 16x2y2 + 64y4) - 16x2y2

(x2 + 8y2)2 - 16x2y2

R: (x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 - 4xy)

(x2 + 4xy + 8y2) (x2 - 4xy + 8y2)

Ejemplo 2:

4m4 + 81n4

4m4 + 81n4

+ 36m2n2 - 36m2n2 4m4 + 36m2n2 + 81n4 - 36m2n2

(4m4 + 36m2n2 +81n4) - 36m2n2

(2m2 + 9n2)2 - 6m2n2

R: (2m2 + 9n2 - 6mn) (2m2 + 9n2 - 36mn)

(2m2 + 6mn + 9n2) (2m2 - 6mn + 9n2)

Ejemplo 3:

81a4 + 64b4

81a4 + 64b4

+144a2b2 - 144a2b2 81a4 +144 a2b2 +64b4 -144 a2b2

(81a4 +144 a2b2 +64b4) -144 a2b2

(9a2 + 8b2)2 - 144 a2b2

R: (9a2 + 8b2 - 12 ab) (9a2 + 8b2 - 12 ab)

(9a2 + 12 ab + 8b2) (9a2 - 12 ab + 8b2)

CASO VI

TRINOMIO DE LA FORMA

x2 + bx + c

Ejemplo 1:

x2 + 7x + 10

R :( x + 5 ) ( x + 2 )

Ejemplo 2:

n2 + 6n – 16

R: ( n + 8 ) ( n – 2 )

Ejemplo 3:

a2 + 42a + 432

R: ( a + 24 ) (a + 18 )

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 1 X8 – 2x4 – 80

R: ( x4 – 10 ) ( x4 + 8 )

Ejemplo 2:

(m – n)2 + 5(m – n) – 24 R: (( m – n) + 8 ) ((m – n) – 3 )

( m – n + 8 ) (m – n – 3 )

Ejemplo 3:

m2 + abcm – 56a2b2c2

R: ( m + 8abc ) (m – 7abc)

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA

ax2 + bx + c

Ejemplo 1:

2x2 + 3x – 2

(2) 2x2 +(2) 3x –(2) 2

= 4x2 + (2) 3x – 4

= (2x + 4 ) (2x – 1 )

2 x 1

R= (x + 2) (2x – 1)

Ejemplo 2:

16m + 15m2 – 15

15m2 + 16m – 15

15(15m2) +(15) 16m –(15) 15

= 225m2 + (15) 16m – 225

= (15 m + 25 ) ( 15 m – 9 )

5 x 3

R= ( 3m + 5 ) ( 5m – 3 )

Ejemplo 3:

30x2 + 13x –10

(30) 30x2 +(30) 13x – (30) 10

900x2 + (30)13x – 300

= (30x + 25 ) (30 x – 12 )

5 x 6

= (6x + 5) (5x – 2)

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 1:

6x4 + 5x2 – 6

(6) 6x4 + (6)5x2 – (6) 6

36x4 + (6)5x2 – 36

= (6x2 + 9 ) (6x2 – 4 )

3 x 2

= (2x2 + 3) (3x2 – 2)

Ejemplo 2:

6m2 – 13am – 15a2

(6) 6m2 – (6) 13am – (6)15a2

36m2 – (6) 13am – 90 a2

= (6m – 18a ) (6m + 5a )

6 x 1

= (m – 3a ) (6m + 5a)

Ejemplo 3:

18a2 + 17 ay – 15y2

(18) 18a2 + (18)17 ay – (18) 15y2

324a2 + (18) 17ay – 270y2

= (18a + 27 ) (18a – 10 )

9 x 2

= (2a + 3y) (9a – 5y)

CASO VIII

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Ejemplo 1:

a3 + 3a2 + 3a + 1

Raíz cúbica de a3 = a Raíz cúbica de 1 = 1 Segundo término= 3(a)2(1) = 3a2 Tercer término = 3(a)(1)2 = 3a

R: (a + 1)3

Ejemplo 2:

64x9 – 125y12 – 240x6y4 + 300x3y8

64x9 – 240x6y4 + 300x3y8 – 125y12 Raíz cúbica de 64x9 = 4x3 Raíz cúbica de 125y12 = 5y4 Segundo término= 3(4x3)2(5y4) = 240x6y4 Tercer término = 3(4x3)(5y4)2 = 300x3y8

R: ( 4x3 – 5y4 )3

Ejemplo 3:

125x12 + 600x8y5 + 960x4y10 + 512y15

Raíz cúbica de 125x12 = 5x4 Raíz cúbica de 512y15 =8y5 Segundo término= 3(5x4)2(8y5) =600x8y5 Tercer término = 3(5x4)(8y5)2 =960x4y10

R: ( 5x4 + 8y5 )3

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Ejemplo 1:

1 + a3

(1 + a) (12 – 1(a) +( a)2)

R:(1 + a) (1 – a + a2)

Ejemplo 2:

x3 – 27 (x – 3 ) ((x)2 + (x)3 + (3)2)

R: (x – 3 ) (x2 + 3x + 9)

Ejemplo 3:

x6 – 8y12 (x2 – 2y4) ((x2)2 + (x2)(2y4) + (2y4)2)

R: (x2 – 2y4) (x4 + 2x2 y4 + 4y8)

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 1:

1 + (x + y)3

(1 +(x + y) (12 – 1(x + y) +(x + y)2)

R:(1 + x + y) (1 – (x + y) + (x + y)2)

(1 + x + y) (1 – x – y + x2 + 2xy + y2)

Ejemplo 2:

(m – 2)3 + (m – 3)3

((m – 2) + (m – 3) ((m – 2)2 – ((m – 2) (m – 3) + (m – 3)2)

R: (m – 2+ m – 3) ((m2 – 4m + 4) – ((m – 2) (m – 3)) + (m2 – 6m + 9))

(2m – 5) (m2 – 4m + 4) – (m2 – 3m – 2m + 6) + (m2 – 6m + 9))

(2m – 5) (m2 – 4m + 4– m2 + 3m + 2m – 6 + m2 – 6m + 9)

(2m – 5) (m2 – 5m +7)

Ejemplo 3:

(x – y)3 – 8

((x – y) – 2) ((x– y)2 + 2(x – y) + (2)2)

R: (x – y – 2) (x2 – 2xy + y2 + 2x– 2y + 4)

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Ejemplo 1:

a5 + 1

a5 + 1 = a4 – a3 + a2 – a + 1

a + 1

Ejemplo 2:

m7 – n7

m7 – n7 = m6 + m5n + m4n2 + m3n3 + m2n4+ mn5 + n6

m – n Ejemplo 3:

x7 + 128

x7 + 128 = x6 – 2x5 + 4x4 – 8x3 +16x2 – 32x + 64 x + 2

https://www.youtube.com/watch?v=VX4eFFcLvCE

webgrafia:

http://teffymarro.blogspot.com.co/2014/06/los-10-casos-de-factorizacion.html